2021考研數學:特征值、特征向量相關知識點總結

特征值、特征向量是線性代數的重點內容，也是考研數學中的重要考點之一。以下是對該部分知識點的詳細總結：重點內容 特征值和特征向量的概念及計算 定義：設A是n階方陣，如果存在數λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx，則稱λ是A的一個特征值，x是A的對應于特征值λ的特征向量。

量子力學：特征值對應可觀測量的可能取值，特征向量對應量子態。主分析（PCA）：特征向量定義數據的主方向，特征值表示方差大小。計算過程與基變換求解特征值與特征向量：由 Av = λv 推導出特征方程 det（A - λI） = 0，解得特征值λ；再代入 （A - λI）v = 0 求特征向量v。

對應于不同特征值的特征向量是線性無關的。若λ是A的特征值，x是對應于λ的特征向量，則對于任意非零實數k，kx也是對應于λ的特征向量。若A是可逆矩陣，且λ是A的特征值，x是對應于λ的特征向量，則1/λ是A^（-1）的特征值，x（或Ax，取決于A^（-1）的定義方式）是對應于1/λ的特征向量。

如果某個特征值λ是重根，那么可能對應多個線性無關的特征向量?？偨Y： 矩陣的特征值和特征向量是方陣特有的概念。 任何n階方陣都有n個特征值，且每個特征值至少對應一個特征向量。

特征值與特征向量的關系：可以把矩陣看作是位移，那么特征值就等于位移的速度，特征向量等于位移的方向。特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1，所有屬于此特征值的特征向量變長；特征值屬于（0， 1），特征向量縮短；特征值小于0，特征向量則反向延長。

[重要]考研數學概念:一元函數微分學的應用(二)---有界與最值定理,介...

1、有界與最值定理可以概括為：“閉區間上的連續函數一定可以取得最大值和最小值。”介值定理和平均值定理可以概括為：“閉區間上的連續函數，介于最大值和最小值間的每一個y都有一個x與之對應?！倍ɡ黹g的聯系與區別 聯系：有界與最值定理、介值定理和平均值定理都是關于閉區間上連續函數的性質定理。

2、考研數學三的知識點主要包括微積分、線性代數、概率論與數理統計三大部分，以下為具體內容：微積分函數、極限、連續函數的概念、性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性）、復合函數與反函數、基本初等函數與初等函數。

3、函數的連續性：理解連續性概念（含左右連續），別間斷點類型，了解連續函數及初等函數的連續性，掌握閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其應用。 一元函數微分學 導數的概念：理解導數定義，可導性與連續性的關系，導數的幾何與經濟意義，會求切線、法線方程。

4、有界性定理 1 說明 如果函數[公式] 在某一有限區間內一切 [公式] 的數值都有定義，單我們并不能由此推出函數必定有界，即函數值所組成的 [公式] 的有界性。2 Weierstrass第一定理 閉區間連續函數必有界： 若 [公式] ， 則 [公式] 。

5、了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其簡單應用。

考研數學三真題考點分布

考研數學三真題考點分布如下：試卷內容結構考研數學三的試卷內容結構由三部分構成：微積分（高等數學）占比最高，約為56%；線性代數和概率論與數理統計占比相同，均為22%。這一比例體現了微積分在數學三考試中的核心地位，而線性代數與概率論的考查力度相對均衡。

考研數學三真題考點主要分布在微積分、線性代數和概率論與數理統計三部分，具體分布特點如下：內容分布比例考研數學三的考點按劃分，微積分（高等數學）占比最高，約為56%；線性代數與概率論與數理統計占比相同，均為22%。

題型與得分分析題型分布：選擇題（60分）：12題（微積分6題，線代3題，概率論3題，每題5分）。填空題（20分）：4題（微積分2題，線代1題，概率論1題，每題5分）。大題（70分）：6題（微積分4題，線代1題，概率論1題）。

數學三考研主要考察以下內容：微積分、線性代數和概率統計。詳細解釋如下：微積分部分。這是考研數學三的重點，占整個考試內容的大部分比例。這部分包括函數、極限、連續、積分等多個章節的內容。其中，微積分的基本概念、性質以及各類函數的求導和積分方法是重要考點。

高頻考點：應用題、方程與不等式、數列、平面幾何、解析幾何、排列組合、概率等，每年必考或隔年高頻考查。低頻考點：立體幾何、函數、絕對值不等式等，考查頻率較低或僅在特定年份出現。

考研數學三真題考點分布情況

1、考研數學三真題考點主要分布在微積分、線性代數和概率論與數理統計三部分，具體分布特點如下：內容分布比例考研數學三的考點按劃分，微積分（高等數學）占比最高，約為56%；線性代數與概率論與數理統計占比相同，均為22%。

2、考研數學三真題考點分布如下：試卷內容結構考研數學三的試卷內容結構由三部分構成：微積分（高等數學）占比最高，約為56%；線性代數和概率論與數理統計占比相同，均為22%。這一比例體現了微積分在數學三考試中的核心地位，而線性代數與概率論的考查力度相對均衡。

3、題型與知識點分布解答題（2道）第20題：聚焦向量組的等價與線性表示，需結合秩與方程組理論解核心考點為向量組等價的定義（即兩個向量組可相互線性表示），需通過秩的性質斷等價性。第21題：圍繞矩陣相似展開，利用相似必要條件求解未知參數，并通過相似對角化求可逆矩陣。

4、題型與得分分析題型分布：選擇題（60分）：12題（微積分6題，線代3題，概率論3題，每題5分）。填空題（20分）：4題（微積分2題，線代1題，概率論1題，每題5分）。大題（70分）：6題（微積分4題，線代1題，概率論1題）。

5、數三題型分值分布如下：考研數學三的題型有選擇、填空、解分值分別為3294?？荚嚨膬热荩焊叩葦祵W：84分，占56%。線性代數：33分，占22%。概率論與數理統計：33分，占22%。考點比數學一要少，但題目難度上偏高。線性代數考試介紹：行列式。